Bài 11. Xác định các đặc trưng đo xu thế trung tâm và độ phân tán dữ liệu
BÀI 11
XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM VÀ ĐỘ PHÂN TÁN DỮ LIỆU
Em đã biết công thức tính các thống kê cơ bản cho một số liệu mẫu trên Excel trong chương trình Toán 10 và 11. Hãy tính một vài giá trị đặc trưng cho dãy số liệu: 2, 4, 2, 6, 4, 5, 1, 0, 3, 5, 7.
a) Tìm hiểu về dữ liệu thống kê
Hoạt động: Tìm hiểu về dữ liệu thống kê
Hình 11.1 là một phần kết quả tuyển sinh của một trường đại học. Những cột dữ liệu nào trong bảng dữ liệu đó là dữ liệu thống kê? Các dữ liệu đó thuộc loại dữ liệu thống kê nào?
Dữ liệu định lượng: Loại dữ liệu đo lường được, thường là số. Ví dụ: chiều cao, điểm số. Các cột E đến H trong Hình 11.1 là các dữ liệu định lượng.
Dữ liệu định tính: Loại dữ liệu mô tả tính chất hoặc loại, thường là nhãn hoặc định danh. Ví dụ: màu sắc, giới tính. Các cột A đến D trong Hình 11.1 là các dữ liệu định tính.
Mô tả dữ liệu thống kê là một trong ba bài toán đơn giản của phân tích dữ liệu thống kê: mô tả dữ liệu; phân tích tương quan và kiểm định giả thuyết.
| Glol | Nganh hoc | Toan | Hoa hoc | |||||
| 3769 | 8.80 | 900 | 8 50 | 26.30 | ||||
| 3776 | Pham Tuan Anh | Nam | 8.60 | 8.50 | 6.75 | 23.85 | ||
| 3777 | N | 8,40 | 4,75 | 21,15 | ||||
| 3791 | Giang A Dung | Nam | 8.60 | 8 25 | 775 | 24.6 | ||
| 3792 | Le Duy | Nam | 5 | 9.00 | 575 | 24 | ||
| 3793 | Nguyen Đuc Duy | Nam | 9.50 | 26.55 | ||||
| 3794 | Nữ | 8 80 | 775 | 23,55 | ||||
| 3797 | 840 | 24.15 | ||||||
| 10 | 4508 | Nguyén Hoai An | 8,20 | 8 50 | 8,00 | 24.7 | ||
| 4512 | Đô Huong Anh | NO | N2 | 8 60 | 4 25 | 19.85 | ||
| 4519 | Hoang Thi Ván Anh | Nữ | N2 | 8,40 | 900 | 500 | 22,4 | |
| 13 | 4545 | Nguyen Thi Khanh Chi | N2 | 8.60 | 6 50 | 8.50 | 23.6 | |
| 14 | 4548 | Pham Thi Khanh Chi | N2 | 8,40 | 8,25 | 3 25 | 19.9 | |
| 15 | 4551 | N2 | 8 20 | 8 50 | 9 50 | 26.2 | ||
| 16 | 2553 | Nguyén Đửc Duy | Nam | N2 | 8.60 | 800 | 7,25 | 23.85 |
| 4555 Trong Khanh Duy | Nam | N2 | 8.00 | 9 25 | 6.00 | 23.25 | ||
| 18 | 4741 | Nguyen Thi Ván Anh | N3 | 8 40 | 6 25 | 9 75 | ||
| 19 | 4744 | Phan Ha Anh | Nữ | N3 | 8.60 | 9 50 | 6 00 | |
| 20 | 4753 Hoang Thi Ngoc Anh | NO | N3 | 7.75 | ||||
| 21 | 4756 | Phem Thi Ngoc Anh | N3 | 9 00 | 9 25 | 27 | ||
| 22 | 4763 | Vi Thi Minh Chau | N3 | 8.60 | 800 | 6 50 | 23.1 | |
| 23 | 4773 | Nguyén Tùng Duong | Nam | N3 | 8.80 | 6 25 | 24.05 | |
| 24 | 4776 | Nguyén Trong Đat | Nam | N3 | 8 20 | 900 | 4 50 | 21.7 |
| 25 | 4784 | Vu Truong Giang | Nam | N3 | 8 80 | 900 | 8,00 |
Mô tả dữ liệu thống kê gồm nhiều nội dung khác nhau; trong bài này sẽ chỉ đề cập việc xác định đặc trưng đo xu thế trung tâm và độ phân tán của các dãy số.
b) Một số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Trong một số trường hợp, có thể kết hợp với biểu đồ tần số để chọn đặc trưng đo xu thế trung tâm của dãy số liệu tuỳ theo sự phân bố của trung bình, trung vị so với mốt là đỉnh của biểu đồ.
Trong môn Toán, em đã được tìm hiểu về các đặc trưng đo xu thế trung tâm: trung bình cộng (mean), trung vị (median), tứ phân vị (quartile), mốt (mode). Các đặc trưng trung tâm giúp tóm tắt dữ liệu.
Các chấm tròn trên biểu đồ cho biết số sinh viên đạt mức điểm tương ứng; ví dụ trên Hình 11.2a, có 5 sinh viên đạt mức điểm 8.40; trên Hình 11.2b có 2 sinh viên Nam đạt mức điểm 8.8.
Trong trường hợp số liệu phân bố tương đối đối xứng qua đỉnh của biểu đồ (Hình 11.2a), có thể chọn trung bình làm đại diện đặc trưng đo xu thế trung tâm. Trong trường hợp phân bố lệch phải, có thể chọn trung vị hoặc mốt.
number1, [number2], ... là các số hoặc vùng ô chứa số.
Lưu ý: Mốt có thể dùng đối với biến định tính được mã hoá bằng số.
Khi dãy số có nhiều giá trị mốt, hàm MODE trả về giá trị mốt xuất hiện đầu tiên trong dãy số. Nếu muốn biết tất cả các giá trị mốt thì có thể dùng hàm MOD.MULT (với Excel phiên bản từ 2010).
Cú pháp: QUARTILE.INC(array, quart), trong đó:
Các giá trị tứ phân vị Q1, Q2, Q3 là những giá trị chia dãy số (đã sắp xếp tăng dần) thành bốn khoảng có số các giá trị của bốn khoảng bằng nhau; tức là có ít nhất 25% số giá trị và 75% số giá trị không lớn hơn Q1.
Phân bố vị trí của các giá trị tứ phân vị Q1, Q2, Q3 có thể hỗ trợ việc so sánh dạng phân bố của các dãy số liệu hoặc mức độ tập trung, phân tán của các khoảng số liệu khác nhau.
Các đặc trưng đo độ phân tán thường được sử dụng bao gồm phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên và khoảng biến thiên. Các đặc trưng đo độ phân tán giúp mô tả sự biến thiên và phân tán của dãy số.
Cú pháp: STDEV(number1, [number2], ...), trong đó:
Trong thực tế, do có cùng đơn vị với số liệu nên độ lệch chuẩn thường được dùng nhiều hơn phương sai.
Excel có hàm tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm như AVERAGE, và các hàm của dữ liệu thống kê như VAR, STDEV. VAR và STDEV đo độ phân tán xung quanh giá trị trung bình.
A. AVERAGE
B. QUARTILE
Em dùng hàm nào sau đây để tìm màu áo ấm mùa đông nhiều nữ sinh ưa thích nhất? A. AVERAGE B. MEDIAN C. MODE D. VAR
2. THỰC HÀNH MÔ TẢ VÀ PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Yêu cầu chung: Sử dụng các đặc trưng đo xu thế trung tâm và phân tán để mô tả và phân tích kết quả thi tuyển sinh được nêu trong dữ liệu ở Hình 11.1.
Nhiệm vụ 1.1: Lựa chọn đại diện đặc trưng đo xu thế trung tâm của dãy số liệu
Yêu cầu: Với số liệu ở Hình 11.1, hãy chọn đại diện đặc trưng đo xu thế trung tâm của điểm thi các môn Toán, Vật lí, Hoá học.
Hướng dẫn:
Bước 1: Mở trang tính với dữ liệu Hình 11.1 (vùng dữ liệu A1:H25). Nhập các tiêu đề Các số đặc trưng trung tâm, Trung bình, Trung vị, Mốt vào các ô B27:B30; các tiêu đề Toán, Vật lí, Hoá học vào các ô C27:E27.
Bước 2: Tính các số đặc trưng tương ứng bằng các hàm trong Excel
Sao chép các ô C28:C30 vào các ô D28:D30 và E28:E30. Kết quả nhận được như Hình 11.4.
| =AVERAGE(E1.E25) | Ioan | Hoa hoc | |
| 28 | binh Inng | 835 | |
| =MEDIAN(E1.E25) | 29 | 8.60 | 713 |
| 8.60 | 8.00 |
Nhận xét: Điểm Toán có các giá trị trung bình, trung vị, mốt xấp xỉ nhau; có thể xem trung bình là đại diện đo xu thế trung tâm. Điểm Vật lí có mốt và trung vị tương ứng là 9.00 và 8.50, trong khi trung bình là 8.35, tính đại diện của trung bình thấp nên có thể chọn trung vị hoặc mốt là đại diện đặc trưng trung tâm. Môn Hoá học có giá trị trung bình 6.95 và trung vị 7.13 khác nhau không đáng kể.
Nhiệm vụ 1.2: Phân tích kết hợp trung bình và độ phân tán
Yêu cầu: Hãy tính giá trị trung bình và độ phân tán của điểm các môn thi trong Hình 11.1 và nêu một vài nhận xét từ kết quả thu được.
Hướng dẫn:
Bước 1: Mở trang tính với dữ liệu Hình 11.1 (vùng dữ liệu A1:H25). Tạo nhãn cho các môn Toán, Vật lí, Hoá học và Trung bình, Phương sai, Độ lệch chuẩn, Khoảng biến thiên, Hệ số biến thiên vào các ô tương ứng.
Bước 2: Tính các đặc trưng.
Kết quả như Hình 11.5.
| M Toán | N Vật lí | Hoá học | P Tông điếm | ||
| 2 | Trung binh | 8.55 | 8.35 | 6.95 | 23.85 |
| 3 | Phương sai | 0.12 | 0.78 | 3.16 | 3.54 |
| 4 | Độ lệch chuẩn | 0.35 | ~ 0.88 | 1.78 | 1.88 |
| 5 | Khoảng biến thiên | 1.60 | 3.25 | 6.50 | 7.15 |
| 6 | Hệ số biến thiên | 4.04 | 10.55 | 25.58 | 7.88 |
Nhận xét: Kết quả tính toán cho thấy điểm trung bình Toán cao nhất trong 3 môn thi. Các môn khác điểm trung bình thấp hơn nhưng biến nhiều hơn, nhất là điểm Hoá học. Cụ thể, nếu chỉ so sánh các đặc trưng.
Nếu chỉ xem xét các giá trị Trung bình, Phương sai, Độ lệch chuẩn, Khoảng biến thiên của điểm môn Hoá học và Tổng điểm, có thể thấy môn Hoá học góp gần 1/3 số điểm vào Tổng điểm.
Nhiệm vụ 2: Phân tích tứ phân vị
Nhiệm vụ 2.1: Phân nhóm các sinh viên theo điểm tổng
Yêu cầu chung: Sử dụng đặc trưng tứ phân vị để phân nhóm sinh viên và phân tích độ tập trung/phân tán của các khoảng số liệu liên quan tới kết quả thi tuyển sinh được nêu trong dữ liệu ở Hình 11.1.
Yêu cầu: Giả sử trong số sinh viên (Hình 11.1) sẽ có 50% sinh viên điểm cao nhất được giảm học phí năm thứ nhất, trong đó một nửa cao hơn được giảm 20% và nửa thấp hơn được giảm 10%. Hãy cho biết các sinh viên nào được giảm học phí.
Hướng dẫn:
Bước 1: Phân tích bài toán: Những sinh viên có điểm từ Q3 trở lên thuộc nhóm 25% sinh viên có điểm cao nhất. Tương tự, những sinh viên có điểm từ Q2 (trung vị của điểm) trở lên thuộc nhóm 50% sinh viên có điểm cao nhất.
Bước 2: Tính Q2 và Q3.
Nhập các tiêu đề Tứ phân vị, Q3, Q2 vào các ô A30:A32; các tiêu đề quart, điểm vào các ô B30:C30 và nhập các số 3; công thức =QUARTILE.INC(H2:H25,B31) vào ô C31. Sao chép ô C31 vào ô C32. Kết quả như Hình 11.6.
| A | B | ||
| 30 | Tứ phân vị | quart | Tổng điểm |
| 31 | 03 | 3 | 24.63 |
| 32 | 02 | 2 | 24.03 |
Nhận xét: Theo kết quả tính được trong Hình 11.6, Đào Thị Mỹ Duyên không được giảm học phí, Phan Hà Anh được giảm 10% và Nguyễn Phương An được giảm 20% học phí năm học thứ nhất.
Nhiệm vụ 2.2: Phân tích số liệu dựa trên tứ phân vị
Yêu cầu: Xác định tứ phân vị điểm thi các môn Vật lí và Hoá học của 24 sinh viên trong danh sách Hình 11.1. Trên cơ sở đó nêu một vài nhận xét về điểm của hai môn này.
Hướng dẫn:
Hàm QUARTILE.INC cho các giá trị tứ phân vị của điểm Vật lí và Hoá học như sau:
Bước 1: Sử dụng hàm QUARTILE.INC tương tự như bước 2 trong Nhiệm vụ 2.1 để tính các giá trị tứ phân vị của hai biến Vật lí và Hoá học trong dữ liệu Hình 11.1.
| Tứ phân vị | Min | Q | Q, | Max | |
| Vật Ií | 6.25 | 7.87 | 8.50 | 9 | 9.5 |
| Hoá học | 3.25 | 5.81 | 7.13 | 8.13 | 9.75 |
Bước 2: Phân tích độ tập trung/phân tán của điểm thi các môn Vật lí và Hoá học.
Các phân tích trên phản ánh tình trạng không ổn định về kiến thức môn Hoá học của sinh viên so với môn Vật lí.
Trong thực tế, việc sử dụng tứ phân vị để so sánh độ phân tán của các dãy số liệu có thể cho nhiều thông tin bổ ích hơn so với phân tích dựa trên các số đo độ phân tán như là một đặc trưng hữu ích.
LUYỆN TẬP
| 32.8 | 33.6 | 31.6 | 36.5 | 34.7 | 31.0 | 33.1 | 32.3 | 33.6 | 32.7 |
| 31.3 | 32.0 | 36.6 | 31.9 | 34.9 | 33.6 | 33.9 | 31.0 | 34.4 | 31.9 |
| 35.5 | 34.9 | 35.4 | 30.3 | 32.1 | 36.1 | 33.0 | 34,4 | 32.6 |